martes, 29 de abril de 2014

TANGENTE


Este artículo trata sobre el concepto en trigonometría. Para otros usos de este término, véase tangente.
Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.
En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:
\tan(\alpha) = \frac{a}{b}
O también como la relación entre el seno y el coseno:
\tan(\alpha) = \frac{\sen(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,












Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.
  • Dados los ángulos  \phi,\theta\ :
\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{\sen(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}
  • Reemplazando por las identidades antes mencionadas:
\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta - \sen \phi \sen \theta }
  • Dividiendo al numerador y al denominador por \cos\phi\cos\theta\,:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta-\sen\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }
  • Separando la suma y la resta:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } + \cfrac{ \cos\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } - \cfrac{ \sin\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }
  • Simplificando cada fracción:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen \phi }{ \cos \phi } + \cfrac{ \sen \theta }{ \cos \theta } }{ 1 - \cfrac{ \sen \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }
  • Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \tan \phi + \tan \theta }{ 1 - \tan \phi \tan \theta }

Tangente de la diferencia de dos ángulos

  • \tan \left( \phi + (- \theta) \right) = \frac{ \tan \phi + \tan (-\theta) }{ 1 - \tan \phi \tan (-\theta) }
  • Al ser una función impar, se obtiene:
\tan \left( \phi - \theta \right) = \frac{ \tan \phi - \tan \theta }{ 1 + \tan \phi \tan \theta }

Forma resumida

\tan\left(\phi\pm\theta\right)=\frac{\tan\phi\pm\tan\theta}{1\mp\tan\phi\tan\theta}

Tangente de un ángulo doble

  • \tan \left( \phi + \theta \right) = \frac{ \tan \phi + \tan \theta }{ 1 - \tan \phi \tan \theta }
  • Haciendo \phi=\theta\, entonces:
\tan \left( 2 \phi \right) = \frac{ 2 \tan \phi }{ 1 - \tan^2 \phi }
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