martes, 29 de abril de 2014

TANGENTE


Este artículo trata sobre el concepto en trigonometría. Para otros usos de este término, véase tangente.
Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.
En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:
\tan(\alpha) = \frac{a}{b}
O también como la relación entre el seno y el coseno:
\tan(\alpha) = \frac{\sen(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,












Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.
  • Dados los ángulos  \phi,\theta\ :
\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{\sen(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}
  • Reemplazando por las identidades antes mencionadas:
\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta - \sen \phi \sen \theta }
  • Dividiendo al numerador y al denominador por \cos\phi\cos\theta\,:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta-\sen\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }
  • Separando la suma y la resta:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } + \cfrac{ \cos\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } - \cfrac{ \sin\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }
  • Simplificando cada fracción:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen \phi }{ \cos \phi } + \cfrac{ \sen \theta }{ \cos \theta } }{ 1 - \cfrac{ \sen \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }
  • Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:
\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \tan \phi + \tan \theta }{ 1 - \tan \phi \tan \theta }

Tangente de la diferencia de dos ángulos

  • \tan \left( \phi + (- \theta) \right) = \frac{ \tan \phi + \tan (-\theta) }{ 1 - \tan \phi \tan (-\theta) }
  • Al ser una función impar, se obtiene:
\tan \left( \phi - \theta \right) = \frac{ \tan \phi - \tan \theta }{ 1 + \tan \phi \tan \theta }

Forma resumida

\tan\left(\phi\pm\theta\right)=\frac{\tan\phi\pm\tan\theta}{1\mp\tan\phi\tan\theta}

Tangente de un ángulo doble

  • \tan \left( \phi + \theta \right) = \frac{ \tan \phi + \tan \theta }{ 1 - \tan \phi \tan \theta }
  • Haciendo \phi=\theta\, entonces:
\tan \left( 2 \phi \right) = \frac{ 2 \tan \phi }{ 1 - \tan^2 \phi }
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COSENO

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:
\cos\alpha = \frac{b}{c}
En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo  \alpha.
Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.
En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real  x  con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes,  x . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potenciases
\begin{array}{rl} \cos x = & 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \\ \\ = & \sum_{n=0}^\infty \; (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{array}
La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:
{\rm cos\ }z=\frac{e^{iz} + e^{-iz} }{2}
Donde i es la unidad imaginaria.



Coseno de la diferencia de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica se muestra a partir del producto escalar de dos vectores.
\forall\ \theta,\phi\in\mathbb{R}
  • Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:
\begin{cases} \vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta \right)\\ \vec{v}\cdot\vec{u}=x_vx_u+y_vy_u\\ \end{cases}
  • Por igualación se define que
|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta\right)=x_vx_u+y_vy_u
  • Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir
x_v=|\vec{v}|\cos\phi
y_v=|\vec{v}|\sin\phi
  • Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda
|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}|\cos\phi|\vec{u}|\cos\theta+|\vec{v}|\sin\phi|\vec{u}|\sin\theta
  • Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro
|\vec{v}||\vec{u}|\cos \left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}||\vec{u}|(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)
  • Simplificando nos queda la identidad trigonométrica
\cos\left(\phi-\theta\right)=\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta

Coseno de la suma de dos ángulos

  • Si hacemos
\cos\left(\phi-(-\theta\right))=\cos\phi\cos(-\theta)+\sin\phi\sin(-\theta)
  • obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale
\cos\left(\phi+\theta\right)=\cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta

Forma resumida

\cos\left(\phi\pm\theta\right)=\cos\phi\cos\theta\mp\sin\phi\sin\theta
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SENO

Para otros usos de este término, véase seno.
Representación gráfica.
En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y lahipotenusa:
\sin\ \alpha=\frac{a}{c}
O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):
\sin\ \alpha=a \,
En matemáticas el seno es la función continua y periódica obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura \sin(\cdot) proviene del latín sĭnus.


Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo que puede deducirse el coseno con la siguiente expresión:
\sin x=\cos\left(x- \frac{\pi}{2}\right)

Seno de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ángulos
\forall\ \theta,\phi \in \mathbb{R}
  • Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir
\sin \left ( \phi+\theta \right) = \cos \left [ \frac{\pi}{2}-(\phi + \theta) \right]
  • El lado derecho de esta ecuación se distribuye de manera distinta:
\sin \left ( \phi+\theta \right) = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2}-\phi \right ) -\theta \right ]
  • Se aplica la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces
\sin \left ( \phi+\theta \right ) = \cos \left ( \frac{\pi}{2}-\phi \right )\cos\theta+ \sin \left ( \frac{\pi}{2}-\phi \right ) \sin\theta
  • Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométricas del ángulo complementario, queda
\sin \left ( \phi+\theta \right) = \sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta

Seno de la diferencia de dos ángulos

\sin\left(\phi+(-\theta\right))=\sin\phi\cos(-\theta)+\cos\phi\sin(-\theta)
  • obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.
\sin\left(\phi-\theta\right)=\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta

Forma resumida

\sin\left(\phi\pm\theta\right)=\sin\phi\cos\theta\pm\cos\phi\sin\theta

Seno de un ángulo doble

Tenemos que:
\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta
Hagamos \phi=\theta\, entonces:
\sin\left(2\phi\right)=2\sin\phi\cos\phi
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