BLOQUE 7 : SENO

Para otros usos de este término, véase seno.

Representación gráfica.

En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y lahipotenusa:

$\sin\ \alpha=\frac{a}{c}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\sin\ \alpha=a \,$

En matemáticas el seno es la función continua y periódica obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura $\sin(\cdot)$ proviene del latín sĭnus.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo que puede deducirse el coseno con la siguiente expresión:

$\sin x=\cos\left(x- \frac{\pi}{2}\right)$

Seno de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ángulos

$\forall\ \theta,\phi \in \mathbb{R}$

Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir

$\sin \left ( \phi+\theta \right) = \cos \left [ \frac{\pi}{2}-(\phi + \theta) \right]$

El lado derecho de esta ecuación se distribuye de manera distinta:

$\sin \left ( \phi+\theta \right) = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2}-\phi \right ) -\theta \right ]$

Se aplica la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces

$\sin \left ( \phi+\theta \right ) = \cos \left ( \frac{\pi}{2}-\phi \right )\cos\theta+ \sin \left ( \frac{\pi}{2}-\phi \right ) \sin\theta$

Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométricas del ángulo complementario, queda

$\sin \left ( \phi+\theta \right) = \sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta$

Seno de la diferencia de dos ángulos

$\sin\left(\phi+(-\theta\right))=\sin\phi\cos(-\theta)+\cos\phi\sin(-\theta)$

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

$\sin\left(\phi-\theta\right)=\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta$

Forma resumida

$\sin\left(\phi\pm\theta\right)=\sin\phi\cos\theta\pm\cos\phi\sin\theta$

Seno de un ángulo doble

Tenemos que:

$\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta$

Hagamos $\phi=\theta\,$ entonces:

$\sin\left(2\phi\right)=2\sin\phi\cos\phi$

BLOQUE 7

martes, 29 de abril de 2014

SENO

Relación entre el seno y el coseno

Seno de la suma de dos ángulos

Seno de la diferencia de dos ángulos

Forma resumida

Seno de un ángulo doble

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